Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika keliling segitiga tersebut adalah 72, luasnya adalah…
- 216
- 363
- 364
- 383
- 432
(Soal SPMB 2007)
Pembahasan:
Ingat bahwa keliling segitiga sama dengan jumlah ketiga sisinya, sehingga diperoleh:
\begin{aligned} K\Delta &= a+(a+b)+(a+2b) \\[8pt] 72 &= 3a+3b \\[8pt] 24 &= a+b \end{aligned}
Karena termasuk segitiga siku-siku maka berlaku teorema phytagoras yakni kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang dari dua sisi lainnya. Kita peroleh berikut:
\begin{aligned} (a+2b)^2 &= a^2 + (a+b)^2 \\[8pt] a^2+4ab+4b^2 &= a^2+a^2+2ab+b^2 \\[8pt] 0 &= a^2-2ab-3b^2 \\[8pt] 0 &= (a-b)^2-4b^2 \\[8pt] (a-b)^2 &= 4b^2 \Leftrightarrow (a-b)^2 = (2b)^2 \\[8pt] a-b &= 2b \Leftrightarrow a = 3b \\[8pt] 24 &= a+b \Leftrightarrow 24 = 3b+b \\[8pt] 24 &= 4b \Leftrightarrow b = 6 \\[8pt] b &= 6 \Rightarrow a = 3b=3(6)=18 \end{aligned}
Dengan demikian, luas segitiga siku-siku tersebut, yaitu:
\begin{aligned} L\Delta &= \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a+b) \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 \\[8pt] &= 216 \end{aligned}
Cara lain untuk mengerjakan soal ini yaitu menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Karena membentuk barisan aritmetika maka perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yaitu \( a:b:c = 3x:4x:5x \). Kita peroleh berikut:
\begin{aligned} K\Delta &= 3x+4x+5x \\[8pt] 72 &= 12x \\[8pt] x &= \frac{72}{12} = 6 \\[8pt] L\Delta &= \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot (3x) \cdot (4x) \\[8pt] &= 6x^2 = 6(36) \\[8pt] &= 216 \end{aligned}
Jawaban A.